3. Introducción a LaTeX

En este tutorial, aprenderás algunos conceptos básicos sobre cómo usar $\LaTeX$ para mostrar ecuaciones en notebooks de Jupyter. Para buscar símbolos que puedas necesitar, puedes usar cualquiera de las muchas hojas de referencia que puedes encontrar en Google. He incluido algunos que aparecerán a menudo en este curso al final de esta lección.

En esta lección, cada vez que se muestre una expresión LaTeX, el código Markdown/LaTeX sin procesar se muestra debajo. (La palabra LaTeX generalmente se escribe como $\LaTeX$, pero me canso de leerlo así, así que de ahora en adelante solo escribiré «LaTeX».)

3.1. LaTeX básico en línea

Para insertar LaTeX dentro del texto, simplemente encierra las partes de LaTeX entre signos de dólar ($). MathJax se encarga del resto. Por ejemplo, considera la siguiente oración y el código markdown/LaTeX para mostrarla.

Einstein nos dijo que $E = mc^2$.

Einstein nos dijo que $E = mc^2$.

Observa cómo la ecuación se muestra correctamente, con las variables matemáticas en cursiva. También observa cómo se usó ^2 para elevar al cuadrado. Si el exponente tiene más de un carácter, debe ir entre llaves ({}). De hecho, las llaves se usan para agrupar símbolos en LaTeX.

Euler nos dijo que $\mathrm{e}^{i \pi} - 1 = 0$.

Euler nos dijo que $\mathrm{e}^{i \pi} - 1 = 0$.

Además de las llaves, hay otros elementos sintácticos importantes. Primero, observa que usé el carácter especial $\pi$ con \pi. En general, una barra invertida precede a los símbolos o comandos especiales en LaTeX. Si queremos otra letra griega, como $\theta$, usamos \theta. También observa que usé «\mathrm{e}» para la base del logaritmo natural. Así le indico a LaTeX que quiero ese carácter en fuente romana, y no en cursiva, por eso usé \mathrm. Todo lo que esté entre las llaves después de \mathrm se muestra en fuente romana. Observa la diferencia.

Esto es $e$. Esto es $\mathrm{e}$

Esto es $e$. Esto es $\mathrm{e}$.

Ahora, volviendo a agrupar cosas con llaves. Podemos hacer agrupaciones similares con subíndices.

El producto punto de dos $n$-vectores es $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i$.

El producto punto de dos $n$-vectores es $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i$.

Aquí, usé $\mathbf{a}$ para poner la letra a en negrita, indicando un vector. Observa que los subíndices se indican con un guion bajo. También observa que los límites de la suma usan el mismo guion bajo y acento circunflejo para subíndices y superíndices.

3.2. Mostrar ecuaciones en líneas separadas

Los límites de la suma en el ejemplo anterior pueden verse un poco extraños porque no están arriba y abajo del símbolo de suma. Esto es porque la ecuación está escrita en línea. Si la separamos del texto, se muestra diferente.

Podemos hacer que una ecuación aparezca centrada en una nueva línea, así:

\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i. \end{align}

Podemos hacer que una ecuación aparezca centrada en una nueva línea, así:

\begin{align}
    \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i.
\end{align}

El entorno align en LaTeX indica que quieres ecuaciones centradas, separadas del texto. Se llama align porque permite alinear ecuaciones. Puedes separar líneas en las ecuaciones con doble barra invertida (//). Inserta un ampersand (&) en cada línea en el punto de alineación. Todas las ecuaciones se alinearán en la posición de los ampersands (y, por supuesto, los ampersands no aparecerán en la ecuación mostrada).

Para un vector de tres componentes $x$, $y$ y $z$,

\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= \sum_{i=1}^n a_i b_i \\ &= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z. \end{align}

Para un vector de tres componentes $x$, $y$ y $z$,

\begin{align}
    \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= \sum_{i=1}^n a_i b_i \\
    &= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
\end{align}

Siempre pongo una línea en blanco antes de \begin{align}. No es necesario, pero creo que se ve mejor con ese espacio extra.

3.3. Fracciones (y ejemplo de ajuste fino)

Para mostrar fracciones, usamos el comando \frac{}{}. \frac siempre va seguido de dos conjuntos de llaves; el numerador va en el primero y el denominador en el segundo. Por ejemplo, podemos escribir una ecuación que verás mucho si tomas la segunda parte de este curso:

\begin{align} P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)} \end{align}

\begin{align}
    P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)}
\end{align}

El lado derecho tiene una fracción bien formateada. Hice un pequeño ajuste fino en esta ecuación. Te muestro la ecuación de nuevo sin el ajuste, que usó los comandos \mid y \,.

\begin{align} P(A | B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}. \end{align}

\begin{align}
    P(A | B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}.
\end{align}

Primero, el comando \mid debe usarse en probabilidades condicionales. Usar solo la barra vertical (|) resulta en poco espacio. Similarmente, usé el comando \, para insertar un poco de espacio extra entre las dos probabilidades en el numerador. Esto hace la ecuación más legible. El operador \, es especialmente importante al definir integrales. Podemos poner un poco de espacio entre el $\mathrm{d}x$ y el integrando.

\begin{align} \text{bueno: } &\int_0^{2\pi} \mathrm{d}x \, \sin x. \\[1em] \text{malo: } &\int_0^{2\pi} \mathrm{d}x \sin x. \end{align}

\begin{align}
    \text{bueno: } &\int_0^{2\pi} \mathrm{d}x \, \sin x. \\[1em]
    \text{malo: } &\int_0^{2\pi} \mathrm{d}x \sin x.
\end{align}

Observa que inserté espacio extra después de la nueva línea. Específicamente, \\[1em] le indica a LaTeX que inserte un espacio igual al ancho de una M entre las ecuaciones. Suelo hacer esto para que todo quede claro.

También es importante notar que usé $\sin$ y no $sin$. Las funciones matemáticas deben ir en fuente romana y se invocan con una barra invertida. De lo contrario, los caracteres se interpretan como variables separadas. Para aclarar:

\begin{align} \text{bueno: } &\sin x. \\[1em] \text{malo: } & sin x. \end{align}

\begin{align}
    \text{bueno: } &\sin x. \\[1em]
    \text{malo: } & sin x.
\end{align}

Finalmente, observa que pude poner texto en la ecuación así: \text{bueno: }.

3.4. Operadores de agrupación (y más ajuste fino)

Compara las siguientes ecuaciones.

\begin{align} \text{bueno: } &\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\sum_{i=1}^n i\right)^2. \\[1em] \text{malo: } &\sum_{i=1}^n i^3 = (\sum_{i=1}^n i)^2. \end{align}

\begin{align}
    \text{bueno: } &\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\sum_{i=1}^n i\right)^2. \\[1em]
    \text{malo: }  &\sum_{i=1}^n i^3 = (\sum_{i=1}^n i)^2.
\end{align}

En la segunda ecuación, no usé la construcción \left( y \right) para los paréntesis y el resultado se ve mal. En LaTeX, la altura de lo que está entre \left( y \right) ajusta el tamaño de los paréntesis. Puedes usar \left y \right con muchos símbolos. Un ejemplo importante es \left\{. Para mostrar llaves en una ecuación, debes usar \{ porque una llave normal ({) tiene otro significado.

(Por cierto, esa ecuación es cierta y bastante sorprendente. Dice que la suma de los primeros $n$ cubos de enteros es igual a la suma de los primeros $n$ enteros al cuadrado).

Finalmente, si usas \left. o \right., LaTeX ajusta el símbolo opuesto para que coincida en altura, pero no imprime el otro. Por ejemplo:

\begin{align} \left. \frac{1}{x + 2} \right|_0^2 = -\frac{1}{4}. \end{align}

\begin{align}
    \left. \frac{1}{x + 2} \right|_0^2 = -\frac{1}{4}.
\end{align}

Esto también es útil si vas a usar / para una división. Compara lo siguiente.

\begin{align} \text{bueno: } & \left. x^2 \middle/ y^2 \right. \\[1em] \text{malo: } & x^2 / y^2 \end{align}

\begin{align}
    \text{bueno: } & \left. x^2 \middle/ y^2 \right. \\[1em]
    \text{malo: } & x^2 / y^2
\end{align}

Aquí usamos el operador \middle para ajustar la longitud del signo de división.

3.5. Matrices y arreglos

En ocasiones, necesitarás expresar matrices. Esto se hace fácilmente usando el entorno pmatrix. Por ejemplo, una matriz de covarianza para dos variables se puede escribir así:

\begin{align} \sigma^2 = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_2^2 \end{pmatrix}. \end{align}

\begin{align}
    \sigma^2 = \begin{pmatrix}
    \sigma_1^2 & \sigma_{12} \\
    \sigma_{12} & \sigma_2^2
    \end{pmatrix}.
\end{align}

Una vez en el entorno pmatrix, cada fila tiene entradas separadas por un ampersand. La fila termina con \\. Cada fila debe tener el mismo número de entradas.

También puedes necesitar representar valores apilados. Por ejemplo, podemos definir una función a trozos así:

\begin{align} \text{rectificador}(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & x \le 0 \\ x & x > 0. \end{array} \right. \end{align}

\begin{align}
    \text{rectificador}(x) = \left\{
    \begin{array}{cl}
    0 & x \le 0 \\
    x & x > 0.
    \end{array}
    \right.
\end{align}

El entorno array permite arreglos de texto. El {cl} después de \begin{array} indica que se quieren dos columnas, la primera centrada y la segunda alineada a la izquierda. Si en cambio usamos {lr}, la primera columna queda alineada a la izquierda y la segunda a la derecha.

3.6. Símbolos LaTeX útiles para el curso

A continuación, una lista de algunos símbolos que pueden ser útiles en esta clase.

LaTeX	símbolo
`\approx`	$\approx$
`\sim`	$\sim$
`\propto`	$\propto$
`\le`	$\le$
`ge`	$\ge$
`\pm`	$\pm$
`\in`	$\in$
`\ln`	$\ln$
`\exp`	$\exp$
`\prod_{i\in D}`	${\displaystyle \prod_{i\in D}}$
`\sum_{i\in D}`	${\displaystyle \sum_{i\in D}}$
`\frac{\partial f}{\partial x}`	${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$
`\sqrt{x}`	$\sqrt{x}$
`\bar{x}`	$\bar{x}$
`\langle x \rangle`	$\langle x \rangle$
`\left\langle \frac{x}{y} \right\rangle`	$\left\langle \frac{x}{y} \right\rangle$